慣性力 - 大学物理の独言

以前の記事で、一部の座標系では運動方程式を立てる際に少々の工夫が必要になることを言った。

これは、実際には存在しないにもかかわらず、新しい座標上に立って見てみるとまるで働いているかのように見える「見かけの力」が発生することがあるためである。

より短く言えば、この見かけの力というのは慣性力と呼ばれる。

いくつか例をあげよう。

下の図では、静止している座標系を赤で、加速度を持って移動する座標系を青で描いた。

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ベクトルの性質から、 ${\overrightarrow{r'} = \overrightarrow{r}_0 + \overrightarrow{r} }$ と表される。

さて、質量 ${m}$ の物体に力 ${\overrightarrow{F}}$ が働いているとすると、運動方程式は

$m \frac{d^2 \overrightarrow{r'}}{dt^2} = \overrightarrow{F}$

となる。

ここに先の ${\overrightarrow{r'}}$ の表現を代入すると、

$m \frac{d^2}{dt^2} ( \overrightarrow{r}_0 + \overrightarrow{r} ) = \overrightarrow{F}$

となり、変形すれば

$m\frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2} = \overrightarrow{F} - m \frac{d^2\overrightarrow{r}_0}{dt^2}$

となる。

この右辺に現れた第二項こそが慣性力である。

繰り返すが、慣性力というのは、あくまでこの動いている系から見た場合に働いているように見える力である。

静止座標から見ればこのようなものを考える必要は全くない。

次に考えるのは、回転座標系と呼ばれるものである。

下の図のような、z軸(画面を見ている読者に垂直に向かってくるような方向)を中心にX座標とY座標が反時計回りで回転する座標系を考える。

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${t=0}$ の時に、この回転座標(青の座標軸)は静止座標(赤の座標軸)と一致しており、回転の角速度は ${\omega}$ で一定とする。

角速度の定義から、

$\omega = \frac{d \theta}{dt}$

である。

${X, Y}$ は、 ${x, y}$ を用いれば

$X=x \cos\theta - y \sin\theta$

$Y=x \sin\theta + y \cos\theta$

と表せる。

これが理解できない読者は、複素空間を考えて

${X+Yi=(x+yi)(\cos \theta + i\sin \theta)}$

によって ${x}$ 軸と ${y}$ 軸を ${\theta}$ 回転させることを考えれば、この形が得られるので試して欲しい。

${X, Y}$ の ${x, y}$ を用いた表現から、

$x=X \cos\theta + Y \sin\theta$

が得られる。

これを二階微分すると、

$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d^2X}{dt^2}\cos\theta + \frac{d^2Y}{dt^2} \sin\theta + 2\omega\left(-\frac{dX}{dt} \sin\theta + \frac{dY}{dt} \cos\theta\right) - \omega^2\left(X \cos\theta + Y \sin\theta\right)$

となる。

${x}$ を ${X, Y}$ で表した時と同様に、 ${x}$ 軸方向に働く力 ${F_x}$ は

$F_x=F_X \cos\theta + F_Y \sin\theta$

となるから、これらを運動方程式に代入すれば

$m \left\{ \frac{d^2X}{dt^2}\cos\theta + \frac{d^2Y}{dt^2} \sin\theta + 2 \omega \left( -\frac{dX}{dt} \sin\theta + \frac{dY}{dt} \cos\theta \right) - \omega^2 \left( X \cos\theta + Y \sin\theta \right) \right\} = F_X \cos\theta + F_Y \sin\theta$

両辺で ${\cos\theta}$ がつく項、 ${\sin\theta}$ がつく項をそれぞれ比較すれば、

$m \frac{d^2X}{dt^2} = F_X - 2m \omega \frac{dY}{dt} + m \omega^2 X$

$m \frac{d^2 Y}{dt^2} = F_Y + 2m \omega \frac{dX}{dt} + m \omega^2 Y$

である。

今回は ${x}$ と ${F_x}$ の比較からこの結論を導いたが、 ${y}$ と ${F_y}$ の比較でも同じ結果が得られるので、ぜひ挑戦して欲しい。

これをベクトル表記に改めると、

$m \frac{d^2 \overrightarrow{R}}{dt^2} = \overrightarrow{F} - 2m \overrightarrow{\omega} \times \frac{d \overrightarrow{R}}{dt} - m \overrightarrow{\omega} \times \left( \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{R} \right)$