大学物理の独言

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ビオ・サバールの法則

電磁気学

磁場が運動する電荷に影響を及ぼすように、運動する電荷も磁場に対して変化を起こす能力を持っている。

運動する電荷が磁場に影響するのであれば当然電流が磁場に影響を及ぼすということになるわけだが、電流が磁場に与える影響を記述する法則こそがビオ・サバールの法則である。

早速式を見ていこう。

ビオ・サバールの法則によると、磁束密度 {\overrightarrow{B}} は電流がどこも一定な場合

{\displaystyle \overrightarrow{B} = \dfrac{\mu I}{4 \pi} \int \dfrac{d \overrightarrow{r'} \times \left( \overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'} \right)}{| \overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'} |^3}}

として表される。

{\mu} は透磁率と呼ばれる一種の比例定数だから、今回はあまり深く考えなくてよいだろう。

{\overrightarrow{r'}} は電流が存在する場所の位置ベクトルを指しているから、{d \overrightarrow{r'}} というのは電流が流れる方向を指す微小なベクトルである。

また、{\overrightarrow{r}} は、磁場を考えたい場所の位置ベクトルであるから、{\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'}} というのは電流が流れている位置から見たときの考えたい場所の位置を指しており、{|\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'}|} は電流が流れるそれぞれの部分と考えたい位置との距離に当たる。

ちなみに、多くの場合には電流は一定の値となるから積分の外に出してしまっているが、電流の大きさが位置によって変化する場合には

{\displaystyle \overrightarrow{B} = \dfrac{\mu}{4 \pi} \int \dfrac{ I d \overrightarrow{r'} \times \left( \overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'} \right) }{| \overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'} |^3}}

となる。



わかりにくいから、例を見ていこう。

次の図のように、{z} 軸上にある無限に長い導線を正の方向へ電流 {I} が流れているとする。

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このとき、{\overrightarrow{r} = \left( x, y, 0 \right) } に形成される磁束密度 {\overrightarrow{B}} をビオ・サバールの法則から計算してみることにする。

まず、電流は {z} 軸上を流れているのだから {\overrightarrow{r'} = \left( 0, 0, z' \right), \: - \infty \leq z' \leq \infty} で、このことから {d \overrightarrow{r'} = \left(0, 0, dz' \right) } であることがわかる。

これらを代入して計算すればよい。

{\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'} = \left( x, y, - z' \right)} であるから

{\displaystyle \overrightarrow{B} = \dfrac{\mu I}{4 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} \dfrac{\left( -y dz', x dz', 0 \right)}{\left( x^2 + y^2 + z'^2 \right)^\frac{3}{2}}}

つまり、{\overrightarrow{B} = \left( B_x, B_y, B_z \right) } とおけば

{\displaystyle B_x = \dfrac{\mu I}{4 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} \dfrac{-y}{\left( x^2 + y^2 + z'^2 \right)^\frac{3}{2}} dz'}

{\displaystyle B_y = \dfrac{\mu I}{4 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} \dfrac{x}{\left( x^2 + y^2 + z'^2 \right)^\frac{3}{2}} dz'}

{\displaystyle B_z = 0}

となるわけである。

あとはこれを計算してやれば、{r^2 = x^2 + y^2} を用いると

{\displaystyle \overrightarrow{B} = \dfrac{\mu I}{2 \pi r^2} \left(-y, x, 0 \right)}

という結果が得られるわけである。

ちなみに、これを極座標に変換して {x = r \cos\varphi, y = r \sin\varphi} と書き換えれば、{\left( -y, x, 0 \right) = r \overrightarrow{e_\varphi}} となるから

{\displaystyle \overrightarrow{B} = \dfrac{\mu I}{2 \pi r}\overrightarrow{e_\varphi}}

と表すことができ、こちらの方が一般的に用いられる。



この例のほかにも、下の図のように半径 {a} の円を描くように置かれた導線を流れる電流が円の中心につくる磁場を求めると

{\displaystyle \overrightarrow{B} = \dfrac{\mu I}{2 a} \overrightarrow{e_z}}

になるなど、シンプルな銅線の配置であればさまざまな状況に対応できる。

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この例については計算過程はあげないが、簡単にできるだろうから各自に練習するとよいだろう。