大学物理の独言

物理学に関連して自分が学んだことを不定期で書いていきます。依頼や要望、ご指摘等はコメントまで

ファラデーの電磁誘導の法則

電磁気学

ビオ・サバールの法則やアンペールの法則は電流が生み出す磁場について記述するものだが、それとは逆に磁場によっても電流が発生する。

より正確には、磁場の変化が電流を生み出す効果を持っている。



まず、重要な概念をひとつ紹介しておく。

{\overrightarrow{B}} をこれまで「磁束密度」と読んできたが、{\overrightarrow{B}} が磁束密度であれば、当然磁束というのも存在するわけである。

磁束 {\Phi} というのは

{\displaystyle \Phi = \int_S \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{n} dS}

で表される。

法線ベクトル {\overrightarrow{n}} は面に対して垂直な単位ベクトルであるから、これと磁束密度の内積というのは、磁束密度のうち面に垂直な方向の成分のみを抽出していることになる。

{\Phi} は {BS} と表されてしまう場合もあるのだが、これは考えている面のどこでも磁束密度が一定な場合の話で、場所によって磁束密度が変化する場合には積分の形で表されなければならない。



さて、この磁束を用いると、磁場の変化によって生み出される起電力 {\phi} は

{\displaystyle \phi = - \dfrac{d \Phi}{dt}}

と表され、これをファラデーの電磁誘導の法則と呼ぶ。

このとき、磁束を求める上で考える {S} は、導線によって囲まれた面の面積である。

右辺に負の符号がついているが、これがないと起電力の向きを正しく表すことができない。

先ほどは説明せずにおいたが、磁束を求める式で登場した法線ベクトルは、面に対して垂直なベクトルという説明だけではふた通り存在してしまう。

そのうちのどちらを採用するかによって磁束の符号がふた通りあり得てしまうわけだが、採用すべきなのは一方のみである。

まず、導線に「正の向き」「負の向き」を任意に設定する。

この正の向きが反時計回りに見える方向から導線を眺めたとき、考えうるふたつの法線ベクトルのうち、自分に矢印が向かってくる側（右ねじの向き）が {\overrightarrow{n}} である。

ファラデーの電磁誘導の法則によれば、そのような {\overrightarrow{n}} を用いて求めた磁束が正の場合には、負の方向に向かって電流を流そうとするような起電力が生まれ、磁束が負の場合には正方向に電流を流そうとする起電力が生まれることになるのである。

電磁誘導の法則の右辺は磁束の時間変化量を表しているが、これはどのような理由であれ変化すれば起電力が生じるという意味である。

磁場を形成している原因となるもの（磁石や電流が流れる導線など）の位置が動くことによって磁束が変化しても起電力は生じるし、今考えている導線が移動することによって回路を貫く磁束が変化しても起電力は生まれる。

とにかく、理由は問わないのである。

また、式からわかる通り、磁束の時間あたり変化が大きいほど生じる起電力も大きくなる。



さて、電磁誘導の法則の式は上に書いたままで計算には充分だが、もう少し変形もできる。

起電力 {\phi}は、導線の内部に生じている電場を {\overrightarrow{E}} をおくと、経路 {C} を導線に沿うものとして

{\displaystyle \phi = \oint_C \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{r}}

と表すことができる。

よって、ファラデーの電磁誘導の法則は

{\displaystyle \oint_C \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{r} = - \dfrac{d \Phi}{dt}}

とも書ける。

右辺を磁束を用いて表しているが、これも磁束密度に戻すことで変形してみよう。

すると

{\displaystyle \oint_C \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{r} = - \dfrac{d}{dt} \int_S \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{n} dS}

というようになる。

察しの良い読者は気づいているだろうが、なんとかしてストークスの定理を使える形にし、積分を使わない表式に書き換えようとしている。

念願叶って左辺がストークスの定理を使える形になったから、早速適用しよう。

{\displaystyle \int_S \left( \nabla \times \overrightarrow{E} \right) \cdot \overrightarrow{n} dS = - \int_S \dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \cdot \overrightarrow{n} dS}

勘違いする読者がいるかもしれないから注を加えておくが、右辺にガウスの定理を用いることはできない。

ガウスの定理というのは閉曲面で面積分している式に対して用いることのできるものだが、今回はただ導線に囲まれただけの面だから閉曲面ではないのである。

話をストークスの定理によって変形した式に戻すが、今回は右辺も一緒に変形してしまった。

それまで常微分だったものが突然偏微分になってしまったが、これは微分する要素が時間のみでなければならないためで、もともと常微分で表していた時にも本当は偏微分を考えなければならないのである。

ただ、そのときには変数が時間以外に存在しないから常微分の形でもよかったという程度の理屈である。

磁束密度は時間以外にも座標に関する変数を持っているため、常微分では正しい微分が行えなくなってしまったのだと理解してくれればよい。

さて、式に関する説明が長くなってしまったが、新しく書き換えた電磁誘導の式では、思惑通りに両辺が面積分で表されているため、積分の中身も同じになる。

また、同じ単位ベクトルで内積をとっているのだから、これも取り払うことができて

{\displaystyle \nabla \times \overrightarrow{E} = - \dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}

という微分系の式にまで書き換えることができる。



この最後の変形は、ストークスの定理がなぜ成り立つのかということを理解している人には数学的には納得がいくだろう。

しかし、物理学的にはなんだかおかしいように見えなくもない。

この式によれば、空間上のあらゆる点で電場の回転（ {\nabla \times} は回転を意味する）が磁束密度の時間変化の {-1} 倍に等しい。

空間上のあらゆる点というのはもちろん導線が存在しないところも含まれるはずなのだが、導線が存在しない場所では電流など存在するはずもない。

しかしこの変形は数学的に確かに正しいのだから、つまり電磁誘導の法則の微分系が主張する内容に基けば、電磁誘導による電場の発生は全ての空間で起こっており、たまたま導線が存在する場所ではその電場によって起電力が生じているということになるわけである。

電磁誘導は、導線の有無に関わらず磁場が変化すれば電場が生じるという内容であると言える。