大学物理の独言

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自己誘導と相互誘導

ファラデーの電磁誘導の法則により、電気回路の中の磁束が変化すると回路に起電力が生じる。

これは、回路に電流が流れることによって磁場が生じた場合にも同様である。

回路に電流が流れるとそれによって磁場が生じ、その磁場によって回路自身に新たな起電力が生じるのである。

この現象は、自己誘導と呼ばれる。



磁束密度 {\overrightarrow{B}} はビオ・サバールの法則やアンペールの法則から電流 {I} に比例することがわかっており、自己誘導による起電力 {\phi_{se}} はこの磁束密度を用いて

{\displaystyle \phi_{se} = - \dfrac{d}{dt} \int_S \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{n} dS}

と表されるのだから、起電力はもちろん流れる電流の時間微分に比例するわけである。

よって、自己誘導による起電力は、{L} を比例定数として

{\displaystyle \phi_{se} = - L \dfrac{dI}{dt}}

と表すことができる。

この {L} は自己インダクタンスと呼ばれ、回路の様子によって固有に決まる値である。

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たとえば、上の図のように回路の中に単位長さあたり巻き数 {n} のコイルが組み込まれていたとき、そこに電流 {I} が流れれば、コイルの中には磁束密度 {\overrightarrow{B}}

{\displaystyle |\overrightarrow{B}| = \mu n I}

の大きさで生じる。

このコイルの総巻き数はコイルの長さを {l} とおけば {nl} になるのだから、磁場は回路をこの回数だけ貫くことになるわけで、コイルの断面積を {S} とおくと、回路を貫く磁束の総数 {\Phi}

{\displaystyle \Phi = |\overrightarrow{B}| nl S = \mu n^2 lS I}

となり、このコイルによる自己誘導起電力は

{\displaystyle \phi_{se} = - \mu n^2 lS \dfrac{dI}{dt}}

と計算され、定義から

{\displaystyle L = \mu n^2 lS}

と求まることになるのである。

符号を見ればわかる通り、自己誘導起電力は回路に流れる電流を妨げる方向で生じる。



自己誘導はひとつの回路の中で生じる起電力だが、複数の回路が存在した場合、あるひとつに電流を流すことで生じた磁場が別の回路に作用して電磁誘導が起こるということも考えられる。

これは、相互誘導と呼ばれる現象である。

ふたつの回路(回路1、回路2)が存在したとき、相互誘導によって回路2に生じる起電力 {\phi_{mu}} は、回路1に流れる電流を {I_1}、比例定数を {M} として

{\phi_{mu} = -M \dfrac{dI_1}{dt}}

と表され、{M} は相互インダクタンスと呼ばれる。

{\phi_{mu}} が電流の時間微分に比例するのは、自己誘導の時と同じ理屈による。

また、{M} はふたつの回路の位置関係だとか、回路の様子によって変化する値である。

ちなみに、回路1に流れる電流によって回路2に起電力が生じるときの相互インダクタンスは、回路2に電流を流すことで回路1に起電力が生じるときの相互インダクタンスと必ず同じ値になることが知られている。

相互誘導についても例を見てみよう。

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上の図のように、回路2に組み込まれた単位長さ当たり巻き数 {n_2} で長さ {l_2} の太くて短いコイルを、回路1に組み込まれた単位長さ当たり巻き数 {n_1} 、断面積 {S_1} の細くて短いコイルが貫いているとする。

すると、回路1に電流 {I_1} を流せば細長いコイルの内部は磁束密度が

{\displaystyle |\overrightarrow{B_1}| = \mu n_1 I_1}

となるから、回路2を貫く磁束の総数は

{\displaystyle \Phi = n_2 l_2 |\overrightarrow{B_1}| S_1 = \mu n_1 n_2 l_1 S_1 I_1}

で、回路2に生じる起電力は

{\displaystyle \phi = - \mu n_1 n_2 l_1 S_1 \dfrac{d I_1}{dt}}

となるのである。

よって、このふたつの回路における相互インダクタンス {M}

{\displaystyle M = \mu n_1 n_2 l_1 S_1 }

ということになる。