ネーターの定理 - 大学物理の独言

エネルギー保存則だとか運動量保存則だとか、物理学では色々な物理量に関する保存則が存在する。

保存量を見つければそれだけで現象の理解に役立つことは力学を学ぶ中で経験的に感じているだろうが、じつは、保存量を見つける方法というのが存在しているのである。

ネーターの定理の導出は、ラグランジアン ${L}$ の時間積分である作用 ${S}$ の式変形から始まる。

$S = \int_{t_0}^{t_1} L(q, \dot{q}, t) dt$

について、座標と時間を微小に進行させた作用 ${S'}$ ともとの作用 ${S}$ の差が 0 になるときに対称性があるということになるのだが、系に対称性があるとき、保存量が存在することがこの定理からわかる。

つまり、 ${q' = q + \delta q}$ 、 ${t' = t + \delta t}$ とおくと、

$\delta S = \int_{t_0}^{t_1} L(q', \dot{q'}, t') dt' - \int_{t_0}^{t_1} L(q, \dot{q}, t) dt$

が 0 になれば保存量が見つかる。

この計算を大変なものにしているのは、 ${t}$ を微小に進行させている点である。

これを変化させてしまうせいで、

$dt' = dt + d \delta t$

とか

${\displaystyle \begin{split} \dot{q'} &= \dfrac{d}{dt'} \left( q + \delta q \right) \\ \\ \displaystyle &= \dfrac{d}{dt + d \delta t} \left( q + \delta q \right) \\ \\ \displaystyle &\sim \left( 1 - \dfrac{d}{dt} \delta t \right) \dfrac{d}{dt} \left(q + \delta q \right) \\ \\ \displaystyle &\sim \dot{q} + \dfrac{d \, \delta q}{dt} - \dfrac{d \, \delta t}{dt} \dot{q} \end{split}}$

とかを計算して、これらを代入したのちも複雑な計算を強いられることになる。

この記事では書ききれないので、ラグランジアンが ${t}$ を露わに含まない（つまり、座標変数やそれを微分した変数を通してしか時間によらない）場合についての計算結果を書いておく。

${\displaystyle \begin{split} \delta S &= \int_{t_0}^{t_1} \left[ \sum_i \left( \dfrac{\partial L}{\partial q_i} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) \delta q_i + \dfrac{d}{dt} \left\{ \sum_i \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i} \right) - L \right\} +\dfrac{d}{dt} \left\{ \sum_i \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \delta q_i \right) - \left( \sum_i \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \dot{q_i} - L \right) \delta t \right\} \right] dt \\ \\ \displaystyle &= \left[ \sum_i \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \delta q_i \right) - \left( \sum_i \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} - L \right) \delta t \right]_a^b \end{split}}$