大学物理の独言

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二重振り子

下の図に示すような二重振り子の運動について考えたい。

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この運動を加速度と働く力からそれぞれに考えようとすると、現象が複雑すぎてとてもではないが運動方程式にたどり着けない。

このとき、オイラーラグランジュ方程式が高い効果を発揮する。



まずはラグランジアンを考えてみよう。

といっても最初から極座標で考えようとしてもうまくいかないので、デカルト座標で考えてみることにする。

図のように質点1と質点2を考え、それぞれの座標を {\left(x_1, y_1 \right), \: \left(x_2, y_2 \right)} とすると、この系のラグランジアン

{\displaystyle L = \dfrac{1}{2} \left\{ m_1 \left( \dot{x_1}^2 + \dot{y_1}^2 \right) + m_2\left( \dot{x_2}^2 + \dot{y_2}^2 \right) \right\} - \left( m_1 g y_1 + m_2 g y_2 \right)}

と書ける。

これを {\theta_1}{\theta_2} を使って表してみよう。

各変数は、{\theta_1}{\theta_2}

{\displaystyle x_1 = l_1 \sin\theta_1}

{\displaystyle y_1 = - l_1 \cos\theta_1}

{\displaystyle x_2 = l_1\sin\theta_1 + l_2 \sin\theta_2}

{\displaystyle y_2 = - l_1\cos\theta_1 - l_2 \cos\theta_2}

と表されるから、それぞれの時間微分

{\displaystyle \dot{x_1} = l_1 \dot{\theta_1} \cos\theta_1}

{\displaystyle \dot{y_1} = l_1 \dot{\theta_1} \sin\theta_1}

{\displaystyle \dot{x_2} = l_1 \dot{\theta_1} \cos\theta_1 + l_2 \dot{\theta_2} \cos\theta_2}

{\displaystyle \dot{y_2} = l_1 \dot{\theta_1} \sin\theta_1 + l_2 \dot{\theta_2} \sin\theta_2}

というふうに表される。

これをラグランジアンに代入すれば

{\displaystyle \begin{split} L &= \dfrac{1}{2} \left\{ m_1 l_1^2 \dot{\theta_1}^2 + m_2 \left( l_1^2 \dot{\theta_1}^2 + l_2^2 \dot{\theta_2}^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\theta_1} \dot{\theta_2} \cos\left( \theta_1 - \theta_2 \right) \right) \right\} \\ \\ \displaystyle 
& \; \; \; + \left\{ m_1 g l_1 \cos\theta_1 + m_2 g \left( l_1\cos\theta_1 + l_2 \cos\theta_2 \right) \right\} \\ \\ \displaystyle

&= \dfrac{1}{2} \left(m_1 + m_2 \right) l_1^2 \dot{\theta_1}^2 + \dfrac{1}{2} m_2 l_2^2 \dot{\theta_2}^2 + m_2 l_1 l_2 \dot{\theta_1} \dot{\theta_2} \cos\left( \theta_1 - \theta_2 \right)  \\ \\ \displaystyle 
& \; \; \; + \left( m_1 + m_2 \right) g l_1 \cos\theta_1 + m_2 g l_2 \cos\theta_2
\end{split}}

というふうに求まる。

少々複雑になってしまったが、とにかくここから運動方程式をつくることができる。

計算過程を示すのは面倒なので、代入した結果の運動方程式を書いておく。

ひとつ目が {\theta_1} について、ふたつ目が {\theta_2} についてのものである。

{\displaystyle \left( m_1 + m_2 \right) l_1^2 \ddot{\theta_1} + \left( m_1 + m_2 \right) g l_1 \sin\theta_1 + m_2 l_1 l_2 \left\{ \ddot{\theta_2} \cos\left( \theta_1 - \theta_2 \right) + \dot{\theta_2}^2 \sin\left( \theta_1 - \theta_2 \right) \right\} = 0}

{\displaystyle m_2 l_2^2 \ddot{\theta_2} + m_2 l_1 l_2 \left\{ \ddot{\theta_1} \cos\left( \theta_1 - \theta_2 \right) - \dot{\theta_1}^2 \sin\left( \theta_1 - \theta_2 \right) \right\} + m_2 g l_2 \sin\theta_2 = 0}

これらの運動方程式を解いていきたいところだが、残念ながらそれはできない。

これらを解くためには、{\theta_1, \theta_2 \ll 1} という仮定のもとでなければならない。

この仮定がない場合の質点の運動は非常に複雑で、コンピュータによる計算が必要となる。

あとは手計算で運動を求めたかったら、{m_1 = m_2} とか {l_1 = l_2} の条件を追加して、連成振動の時と同じように行列を用いて計算するとよい。

これをやっても真新しさが全くないのでここでは書かないが、この条件のもとでならそこまで苦労せずとも解けるはずである。

微小振動でならそうして解くことができるが、微小でない場合には、いわゆるカオスと呼ばれるような運動になることが知られている。

検索すれば動画が出てくるから、見てみるといいだろう。