大学物理の独言

物理学に関連して自分が学んだことを不定期で書いていきます。依頼や要望、ご指摘等はコメントまで

断熱変化

熱力学

気体が受け取る熱量は、閉じ込められた気体の体積が一定となる場合は気体の内部エネルギーの変化と等しくなるし、圧力が一定となる場合はエンタルピーの変化と等しくなる。

では、受け取る熱量を 0 にしてしまった場合には気体はどう変化するのだろうか。

この変化は外部との熱のやりとりを断つ変化ということで断熱変化と呼ばれるが、この場合の熱力学第一法則は {q = 0} となるのだから

{\displaystyle \Delta U + w = 0}

と書くことができる。

気体の定積モル熱容量 {C_v} は

{\displaystyle C_v = \dfrac{1}{n} \left( \dfrac{\partial U}{\partial T} \right)_v}

と書かれるのだから、{dU = n C_v dT} である。

また、仕事 {w} が {w = p dV} であることから、気体の状態方程式を用いれば微小仕事は

{\displaystyle p dV = \dfrac{nRT}{V} dV}

となる。

以上のことを熱力学第一法則に適用してみると、微小な変化について

{\displaystyle n C_v dT + \dfrac{nRT}{V} dV = 0}

と書けるようになる。

これを変数分離の後に積分してみれば、

{\displaystyle \begin{split} \int_{T_0}^{T_1} \dfrac{n C_v}{T} dT + \int_{V_0}^{V_1} \dfrac{nR}{V} dV &= 0 \\ \\ \displaystyle C_v \log{T_1} + R \log{V_1} &= C_v \log{T_0} + R \log{V_0} \\ \\ \displaystyle \log{T_1 V_1^\frac{R}{C_v}} &= \log{T_0 V_0^\frac{R}{C_v}} \\ \\ \displaystyle T_1 V_1^\frac{R}{C_v} &= T_0 V_0^\frac{R}{C_v} \end{split}}

マイヤーの関係式により {R = C_p - C_v} となることを用いれば

{\displaystyle T_1 V_1^{\frac{C_p}{C_v} - 1} = T_0 V_0^{\frac{C_p}{C_v} - 1}}

{T_0, V_0} と {T_1. V_1} の関係は特に定めていないので、任意の変化について

{\displaystyle T V^{\frac{C_p}{C_v} - 1} = Constant}

が成り立つことになる。

気体の状態方程式 {T = \dfrac{pV}{nR}} を代入すると、物質量も気体定数も一定であることを考慮して

{\displaystyle p V^\frac{C_p}{C_v} = Constant}

と書き換えることもできる。

断熱変化では、気体の物質量が一定である限りこの関係が成立するのである。