大学物理の独言

物理学に関連して自分が学んだことを不定期で書いていきます。依頼や要望、ご指摘等はコメントまで

ハミルトン・ヤコビの理論

解析力学

正準変換により、座標を取り替えて運動を議論することができるようになる。

今回はこの操作を用いて、物体とともに移動する座標系を考えてみたい。

新しい座標系でのハミルトニアン {H'(Q, P, t)} は、座標変換前のハミルトニアン {H(q, p, t)} と母関数 {W} を用いて

{\displaystyle H' = H + \dfrac{\partial W}{\partial t}}

と表せる。

これによって {H' = 0} とすることができたら、正準方程式は

{\displaystyle \dot{Q_i} = \dfrac{\partial H}{\partial P_i} = 0}

{\displaystyle \dot{P_i} = - \dfrac{\partial H}{\partial Q_i} = 0}

となるのだから、{Q_i} と {P_i} というふたつの定数で {q} と {p} で再度表してやれば、運動が記述できることになるのである。

つまり、物体の動きそのものではなく、それに合わせた座標の動きを式的に表すことで、間接的に物体の動きを調べることができるようになる。

この考え方をハミルトン-ヤコビの理論と呼ぶ。



新しいハミルトニアンが 0 になるように母関数を決めるのだから、当然

{\displaystyle H + \dfrac{\partial W}{\partial t} = 0}

となり、これの方程式をハミルトン-ヤコビ方程式と呼ぶ。

また、{Q_i} と {P_i} の一階微分が 0 になるから、{Q_i} と {P_i} はどちらも定数 {a_i, b_i} を用いて

{\displaystyle Q_i = a_i}

{\displaystyle P_i = b_i}

と書けることになる。

さらに、正準変換によって

{\displaystyle a_i = Q_i = \dfrac{\partial W}{\partial P_i} = \dfrac{\partial W}{\partial b_i}}

{\displaystyle p_i = \dfrac{\partial W}{\partial q_i}}

が言えるから、これによって {q_i} と {p_i} が {a} と {b} で表せるのである。

あとは初期条件から {a_i} と {b_i} を決定すれば、運動が求まることになる。



わかりにくいから、力を受けずに慣性の法則のみによって運動しているような、いわゆる自由粒子についてこの理論を用いて考えてみよう。

自由粒子のハミルトニアンは

{\displaystyle H = \dfrac{p^2}{2m}}

である。

{\displaystyle p = \dfrac{\partial W}{\partial q}}

と表せるから、ハミルトン-ヤコビ方程式は

{\displaystyle \dfrac{\partial W}{\partial t} + \dfrac{1}{2m} \left( \dfrac{\partial W}{\partial q} \right)^2 = 0}

である。

ここでハミルトニアンに由来する項を見てほしいのだが、この項は時刻 {t} を含んでいない。

よって、この式の全体を {q} と {t} が完全に独立として積分してみれば

{\displaystyle W + \dfrac{1}{2m} \left( \dfrac{\partial W}{\partial q} \right)^2 t - S(q) = 0}

となるはずで、母関数 {W} が {W = T(t) + S(q)} というように変数分離できることがわかる。

このように変数分離したものをハミルトン-ヤコビ方程式に代入すると

{\displaystyle \dfrac{\partial T}{\partial t} + \dfrac{1}{2m} \left( \dfrac{\partial S}{\partial q} \right)^2 = 0}

と書き換えられる。

{T} は {t} のみの関数だし {S} は {q} のみの関数だから、これが成り立つのは {\dfrac{\partial T}{\partial t}} と {\dfrac{\partial S}{\partial q}} が定数の場合だけである。

{E} を定数として

{\displaystyle T = - Et}

と書くことができ、これをハミルトン-ヤコビ方程式に代入すれば

{\displaystyle S = q \sqrt{2mE}}

と求まる。

よって、母関数は

{\displaystyle W = q \sqrt{2mE} -Et}

ここで、{E} を新座標系の運動量 {P} とおいてしまってよいことは、次元にさえ目を瞑ればそこまで不自然なことではないだろう。

現れる定数が {Q} か {P} になるのだから、{E} にあてられても別に構わないというわけである。

これを許してしまえば、正準変換から

{\displaystyle Q = \dfrac{\partial S}{\partial E} = \sqrt{\dfrac{m}{2E}}q - t}

となることにより

{\displaystyle q = \sqrt{\dfrac{2E}{m}} Q + \sqrt{\dfrac{2E}{m}} t}

と運動が求まることになる。

{Q} は定数だから第一項は定数、第二項は定数と時刻の積ということになり、これは

{\displaystyle q = q_0 + v t}

に対応する。