大学物理の独言

物理学に関連して自分が学んだことを不定期で書いていきます。依頼や要望、ご指摘等はコメントまで

単振動

力学

単振動は、力学を考えていると頻繁に登場する。

バネに取り付けた質点が最もわかりやすい例だが、そのほかにも単振動に近似できる、つまり「ほぼ単振動みたいなもの」というものも含めれば、今回は扱わないが原子間力によっても単振動と見ていいような運動が起こる。

 

単振動が起こる運動の運動方程式は、{k} を任意の定数とすると

{\displaystyle m \frac{d^2x}{dt^2} = - k x}

となる。

この微分方程式を解いていくのである。

結論から言うと、解いた結果は

{\displaystyle x(t) = A e^{\,i\sqrt{\frac{k}{m}}t} + B e^{-i \sqrt{\frac{k}{m}}t}}

となる。

{A} と {B} は定数で、{e} はネイピア数、{i} は虚数単位である。

{\sqrt{\frac{k}{m}}} は角振動数とよばれ、よく {\omega} と表される。

 

このような解の形は、どのような運動なのか非常にわかりにくく感じるだろう。

そこで、もっと直感的な形への変形を試みる。

オイラーの公式と呼ばれる公式によると

{\displaystyle e^{i \theta} = \cos\theta + i \sin\theta}

という指数関数と三角関数の関係が成り立つ。

これを用いれば、先程の解は

{\displaystyle x = \left( A+B \right) \cos \omega t + i \left( A-B \right) \sin \omega t}

と書き換えることができるので、解は三角関数で表すことができるのである。

 

さて、話を戻して、解法を順を追って説明していこう。

まず、初めの微分方程式を変形すると

{\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0}

となる。

詳しくは「二階線形微分方程式 解法」とでも検索すればわかるが、この手の微分方程式というのは、これを満たすような {x} （特殊解と呼ばれる）をふたつ見つけて、それぞれを定数倍したものを足せば {x} の一般解が得られるのである。

このような操作を線形結合と呼ぶが、ようは {xy} 座標上の点が単位ベクトル {\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}} の定数倍を足すことで全て表すことができるのと同じように、ふたつの特殊解が単位ベクトルのような役割をしてくれることで、全ての解がこのような線形結合で表せるのである。

それではどのようにして特殊解を探すのかということになるが、これは至ってシンプルである。

{\displaystyle x = e^{\lambda t}}

とおいて微分方程式に代入すればよい。

すると

{\displaystyle \left( \lambda ^2 + \frac{k}{m} \right) e^{\lambda t} = 0}

となるのだから、

{\displaystyle \lambda = \pm i \sqrt{\frac{k}{m}} }

となる。

よってふたつの特殊解は

{\displaystyle x = e^{\pm \sqrt{\frac{k}{m}} t}}

となり、これらを線形結合すれば、先程の解が得られるのである。

{A} と {B} は、欲しい答えがわかるように初期座標 {x(0)} と初速度 {\frac{dx}{dt}| _{(t=0)}} を考慮して決めればよい。

 

この解法は、抵抗力の一種である粘性抵抗（物体と周囲の流体の間に発生する摩擦力によって運動を妨げるような力）が働いている場合にも応用できる。

粘性抵抗を考慮した運動方程式は、{\kappa} を定数として

{\displaystyle m \frac{d^2x}{dt^2} = - \kappa \frac{dx}{dt} - kx}

となるが、これを先ほどと同じように {x = e^{\lambda t}} とおいて計算すれば

{\displaystyle x = A e^{\frac{- \kappa + \sqrt{\kappa ^2 - 4m^2 \omega^2}}{2m} t} + B e^{\frac{- \kappa - \sqrt{\kappa ^2 - 4m^2 \omega^2}}{2m} t} }

となるのである。

これは、何も考えずにオイラーの公式で三角関数に書き換えるというわけにはいかない。

{e} の指数が虚数単位を含むか否かで、それができるかが変わってくるためである。

まずは変形して

{\displaystyle x = e^{-\frac{\kappa}{2m} t} \left(A e^{\frac{\sqrt{\kappa ^2 - 4m^2 \omega^2}}{2m} t} + B e^{- \frac{\sqrt{\kappa ^2 - 4m^2 \omega^2}}{2m} t} \right) }

としておく。

見ての通りだが、{ \kappa \lt 2m \omega} であれば指数が虚数となるため、三角関数に書き換えることができる。

それはつまり、{ \kappa \lt 2m \omega} というのが質点が振動する条件ということである。

この場合には、振動の振幅が{e^{-\frac{\kappa}{2m} t}} というペースで小さくなっていきながら振動することになる。

{ \kappa = 2m \omega} となってしまうと

{\displaystyle x = e^{-\frac{\kappa}{2m} t} \left( A+B \right)}

という解になるから、ひたすらバネが自然長になるところまで近づくだけの、そこを通り越さないために振動しない運動になる。

{ \kappa \gt 2m \omega} の場合にはこれ以上の変形ができないが、すべての項の指数が0より小さくなるため、これもまた自然長になるところまで近づくだけの運動になる。

ただし、{ \kappa = 2m \omega} の場合に比べて自然長となる点に辿り着くまでにかかる時間が長くなる。

 

 

さて、ここまでバネに取り付けられた質点の運動を考えたが、単振動に近似できるものも扱っておこう。

振り子に取り付けられた質点の運動方程式は、紐の長さ {l} が時間で変化しなければ、紐と鉛直方向との角度を {\varphi} として

{\displaystyle ml \frac{d^2 \varphi}{dt^2} = - mg \sin\varphi}

となる。

この式は冒頭で「これが単振動を表す式である」として示した運動方程式とは違った見た目をしているのだが、振れ幅がごく小さい、つまり {\varphi \ll 1} という状況では、テイラー展開によって {\sin\varphi \approx \varphi} となるから、そういう状況では

{\displaystyle ml \frac{d^2 \varphi}{dt^2} = - mg \varphi}

となって見事に単振動の式になるのである。

これを解けば

{\displaystyle \varphi = A e^{\omega t} + B e^{-\omega t} }

となる。

ただし、今回の書く振動数 {\omega} は、先ほどとは違って {\omega = \sqrt{\frac{g}{l}} } である。