大学物理の独言

物理学に関連して自分が学んだことを不定期で書いていきます。依頼や要望、ご指摘等はコメントまで

歳差運動

力学

回るコマを見てなぜ倒れないのかを疑問に感じるというのは、多くの人が経験することだろう。

感覚的にはおかしい挙動のように見える。

しかし、角運動量と力のモーメントの関係から考えると、コマが倒れないというのは力学的に自然な現象なのである。

下の図のようなコマを考えてほしい。コマは上から見て反時計回りに回っており、回転軸は ${\theta}$ だけ傾いているとする。

考察を楽に進めるため、コマの接地箇所は移動しないとしてしまい、さらにコマが ${z}$ 軸周りに回る角速度は、 ${\omega}$ と比べて充分に小さいとしてしまおう。

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コマには重力 ${\overrightarrow{F} = -mg \overrightarrow{e_z}}$ が ${\overrightarrow{r}}$ の位置にある重心に働くと考えることができるから、受ける力のモーメントは ${\overrightarrow{N} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} }$ である。

また、角速度ベクトル ${\overrightarrow{\omega}}$ は当然コマの回転軸に沿った向きになるわけだが、コマは反時計回りに回転しているから、その向きは回転軸に沿った ${z}$ 軸正の向きである。

さて、設定の説明はここまでにして、考察を始めよう。

${\overrightarrow{r} = \left(x, \, y, \, z \right)}$ とおけば

$\overrightarrow{N} = \left( -mgy, \, mgx, \, 0\right)$

となる。

角運動量 ${\overrightarrow{L}}$ と力のモーメント ${\overrightarrow{N}}$ の関係は

$\frac{d \overrightarrow{L}}{dt} = \overrightarrow{N}$

であった。

この法則は、角運動量と力のモーメントの大きさばかりに目が行きがちだが、向きについてもこの式が満たされなければならない。

今回のコマでは、 ${z}$ 軸方向に注目して考えることにする。

コマの回転軸周りの慣性モーメントを ${I}$ とおけば、

$\overrightarrow{L} = I \overrightarrow{\omega}$

であるから、その ${z}$ 軸方向の成分は

$\left( \overrightarrow{L} \right)_z = I | \overrightarrow{\omega} | \cos\theta$

である。

角運動量と力のモーメントの ${z}$ 成分を、方程式に代入してみる。

すると、

$\frac{d}{dt} \left( I | \overrightarrow{\omega} | \cos\theta \right) = 0$

となってしまうのである。

つまり、 ${ I | \overrightarrow{\omega} | \cos\theta }$ は一定の値になるのである。

回転の角速度が一定であれば（つまり回転の速度が一定であれば）、 ${\cos\theta}$ も一定ということになる。

もう少し感覚的な表現に直せば、

$\cos\theta = \frac{z}{|\overrightarrow{r}|}$

であるから、重心の ${z}$ 座標が一定ということになる。

つまり、コマの重心の高さは一定となり、コマが倒れてしまうというような、この関係が崩れてしまう状況は起こらないのである。